next up previous contents
Next: 2.4.5 エネルギー保存式 Up: 2.4.4 時間あたりの仕事 Previous: 2.4.4.1 圧縮性流体(密度 [kg/m ]は変化する)

2.4.4.2 非圧縮性流体(密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]は一定)

密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]が一定の非圧縮性流体の場合は面に垂直な$ \tau$ の式(2.180) $ ^{\text{p.\pageref{eq-sigmatau-com}}}$ は質量保存の式(2.38) $ ^$p.[*] $ \bm{\nabla} \cdot \bm{v} = 0$ から次式のようになる。

% latex2html id marker 23863 $\displaystyle \left. \begin{array}{ccc} \sigma_x ...
...P + 2 \mu \dfrac{\partial w}{\partial z} = - P + \tau_{zz} \end{array} \right\}$ (2.182)

xyz軸での出入の総和式(2.181) $ ^{\text{p.\pageref{eq-eneworXYZ}}}$ へ面に垂直な$ \tau$ [Pa]の上式(2.183) $ ^{\text{p.\pageref{eq-sigmatau}}}$ と面に平行な$ \tau$ [Pa]の式(2.66) $ ^{\text{p.\pageref{eq-tau}}}$ を代入すると、コントロールボリューム全体での時間あたりの仕事が次式で求められる。

$\displaystyle \bigg($ $\displaystyle - P \dfrac{\partial u}{\partial x} - P \dfrac{\partial v}{\partia...
...artial x} - v \dfrac{\partial P}{\partial y} - w \dfrac{\partial P}{\partial z}$    
  $\displaystyle + u \dfrac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + v \dfrac{\partial \t...
...frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + w \dfrac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}$    
  $\displaystyle + \underbrace{ \tau_{xx} \dfrac{\partial u}{\partial x} + \tau_{y...
...\partial z} + \tau_{xz} \dfrac{\partial w}{\partial x} }_{散逸項} \bigg) dxdydz$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \bigg[ - P \bigg( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial ...
...l x} + v \frac{\partial P}{\partial y} + w \frac{\partial P}{\partial z} \bigg)$    
  $\displaystyle + 2 \mu \bigg( u \frac{\partial }{\partial x} \dfrac{\partial u}{...
...rtial y} + w \frac{\partial }{\partial z} \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg)$    
  $\displaystyle + \mu u \bigg\{ \frac{\partial }{\partial y} \bigg( \frac{\partia...
...g( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \bigg) \bigg\}$    
  $\displaystyle + \mu w \bigg\{ \frac{\partial }{\partial x} \bigg( \frac{\partia...
...g( \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} \bigg) \bigg\}$    
  % latex2html id marker 23883 $\displaystyle + \underbrace{ \mu \bigg( 2 \dfrac{...
...bm{v}}_{式(\ref{eq-mass})より0} \bigg) \frac{\partial w}{\partial z} }_{散逸項}$    
  $\displaystyle \underbrace{ + \mu \bigg( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\...
...}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \bigg)^2 }_{散逸項} \bigg] dxdydz$    
$\displaystyle =$ % latex2html id marker 23886 $\displaystyle \Bigg( - P \underbrace{ \bigg( \fra...
...l x} + v \frac{\partial P}{\partial y} + w \frac{\partial P}{\partial z} \bigg)$    
  % latex2html id marker 23887 $\displaystyle + \mu \bigg[ u \bigg\{ \frac{\parti...
...ial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \bigg)}_{式(\ref{eq-mass})より0} \bigg\}$    
  % latex2html id marker 23888 $\displaystyle + v \bigg\{ \frac{\partial ^2 v}{\p...
...ial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \bigg)}_{式(\ref{eq-mass})より0} \bigg\}$    
  % latex2html id marker 23889 $\displaystyle + w \bigg\{ \frac{\partial ^2 w}{\p...
...ial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \bigg)}_{式(\ref{eq-mass})より0} \bigg\}$    
  $\displaystyle + \underbrace{ 2 \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} \bigg)^2 +...
...frac{\partial w}{\partial z} \bigg)^2 }_{散逸項、次項と合わせて \varPhi と置く}$    
  $\displaystyle \underbrace{ + \bigg( \dfrac{\partial v}{\partial x} + \dfrac{\pa...
...tial x} \bigg)^2 }_{散逸項、前項と合わせて \varPhi と置く} \bigg] \Bigg) dxdydz$    
  $\displaystyle = \bigg[ - \bigg( u \frac{\partial P}{\partial x} + v \frac{\partial P}{\partial y} + w \frac{\partial P}{\partial z} \bigg)$    
  $\displaystyle + \mu \bigg\{ u \bigg( \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2 } + \fra...
... } + \frac{\partial ^2 w}{\partial z^2 } \bigg) \bigg\} + \varPhi \bigg] dxdydz$    
  $\displaystyle = \Big\{ - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} P + \mu \big( u \bm{\nabla} \...
...\bm{\nabla} v + w \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} w \big) + \varPhi \Big\} dxdydz$    
  $\displaystyle = \left( - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} P + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \bm{v} + \varPhi \right) dxdydz$ (2.183)

ここで$ \varPhi$ [W/m$ ^3$ ]はエネルギー散逸関数であり次式で表される。

$\displaystyle \varPhi = \mu \bigg\{ 2 \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} \bi...
...frac{\partial u}{\partial z} + \dfrac{\partial w}{\partial x} \bigg)^2 \bigg\}
$


next up previous contents
Next: 2.4.5 エネルギー保存式 Up: 2.4.4 時間あたりの仕事 Previous: 2.4.4.1 圧縮性流体(密度 [kg/m ]は変化する)


この図を含む文章の著作権は著者にあり、クリエイティブ・コモンズ 表示 - 非営利 - 改変禁止 3.0 非移植 ライセンスの下に公開する。