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2.4.4 時間あたりの仕事

時間あたりの仕事（仕事率）は面に作用する力（応力と面積の積）と速度の内積で表される ^2.24。 面に作用する力は図2.5 $^{\text{p.\pageref{fig-ControlVolumeStress}}}$ を参照。コントロールボリュームのそれぞれの面について考える。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\left( \begin{array}{c} \sigma_{x, {x -}} \\ \tau_{xy, {x -}} \\ ... ...ma_{x, {x -}} u_{x -}+ \tau_{xy, {x -}} v_{x -}+ \tau_{xz, {x -}} w_{x -}) dydz$$ (2.170)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\left( \begin{array}{c} \sigma_{x, {x +}} \\ \tau_{xy, {x +}} \\ \tau_{xz, {x +}} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} u_{x +}\\ v_{x +}\\ w_{x +} \end{array} \... ...frac{\partial w}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \end{array} \right) dydz$$

$$= \bigg(\sigma_{x, {x -}} u_{x -}+ ... ...視する（\ref{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）}$$

$$+ \tau_{xy, {x -}} v_{x -}+ \tau_{x... ...視する（\ref{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）}$$

$$+ \tau_{xz, {x -}} w_{x -}+ \tau_{x... ...f{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）}\bigg) dydz$$ (2.171)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{yx, {y -}} \\ \sigma_{x, {x -}} \\ ... ..._{yx, {y -}} u_{y -}+ \sigma_{y, {y -}} v_{y -}+ \tau_{yz, {y -}} w_{y -}) dzdx$$ (2.172)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{yx, {y +}} \\ \sigma_{y, {y +}} \\ \tau_{yz, {y +}} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} u_{y +}\\ v_{y +}\\ w_{y +} \end{array} \... ...frac{\partial w}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} d y \end{array} \right) dzdx$$

$$= \bigg(\tau_{yx, {y -}} u_{y -}+ \... ...視する（\ref{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）}$$

$$+ \sigma_{y, {y -}} v_{y -}+ \sigma... ...視する（\ref{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）}$$

$$+ \tau_{yz, {y -}} w_{y -}+ \tau_{y... ...f{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）}\bigg) dzdx$$ (2.173)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{zx, {z -}} \\ \tau_{zy, {z -}} \\ \... ..._{zx, {z -}} u_{z -}+ \tau_{zy, {z -}} v_{z -}+ \sigma_{z, {z -}} w_{z -}) dxdy$$ (2.174)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\left( \begin{array}{c} \tau_{zx, {z +}} \\ \tau_{zy, {z +}} \\ \sigma_{z, {z +}} \\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} u_{z +}\\ v_{z +}\\ w_{z +} \end{array} \... ...frac{\partial w}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} d z \end{array} \right) dxdy$$

$$= \bigg(\tau_{zx, {z -}} u_{z -}+ \... ...視する（\ref{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）}$$

$$+ \tau_{zy, {z -}} v_{z -}+ \tau_{z... ...視する（\ref{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）}$$

$$+ \sigma_{z, {z -}} w_{z -}+ \sigma... ...f{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）}\bigg) dxdy$$ (2.175)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから外への作用が負、内への作用が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる^2.25。

$x$ 軸に沿った作用

$-$ 式(2.171)$+$ 式(2.172)

$$\bigg( \sigma_{x, {x -}} \left. \dfrac{\partial u}{\partial x} \r... ...t. \dfrac{\partial {\tau_{xz}}}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \bigg) dxdydz$$ (2.176)

$y$ 軸に沿った作用

$-$ 式(2.173)$+$ 式(2.174)

$$\bigg( \tau_{yx, {y -}} \left. \dfrac{\partial u}{\partial y} \ri... ...eft. \dfrac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \bigg) dxdydz$$ (2.177)

$z$ 軸に沿った作用

$-$ 式(2.175)$+$ 式(2.176)

$$\bigg( \tau_{zx, {z -}} \left. \dfrac{\partial u}{\partial z} \ri... ...left. \dfrac{\partial \sigma_z}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} \bigg) dxdydz$$ (2.178)

ここで、式(2.65) $^{\text{p.\pageref{eq-sigma-com}}}$ で表される面に垂直な応力$\sigma_x$ 、$\sigma_y$ 、$\sigma_z$ [Pa]を圧力と粘性力の項に分け、次のように表す。

$$\left. \begin{array}{ccc} \sigma_x & = & - P + \mu \bigg( 2 \dfra... ... \dfrac{2}{3} \nabla \cdot \bm{v} \bigg) = - P + \tau_{zz} \end{array} \right\}$$ (2.179)

式(2.177) $^{\text{p.\pageref{eq-eneworX}}}$ 、式(2.178) $^{\text{p.\pageref{eq-eneworY}}}$ 、式(2.179) $^{\text{p.\pageref{eq-eneworZ}}}$ の和に上式の$\sigma$ を代入する。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7節 $^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での時間あたりに作用する仕事は次式で表される。

$$\bigg\{ \big(- P + \tau_{xx} \big) \dfrac{\partial u}{\partial x} + \big(... ...tial v}{\partial y} + \big(- P + \tau_{zz} \big) \dfrac{\partial w}{\partial z}$$

$$+ u \dfrac{\partial }{\partial x} \big(- P + \tau_{xx} \big) + v ... ... + \tau_{yy} \big) + w \dfrac{\partial }{\partial z} \big(- P + \tau_{zz} \big)$$

$$+ \tau_{xy} \dfrac{\partial v}{\partial x} + \tau_{yx} \dfrac{\pa... ..._{zx} \dfrac{\partial u}{\partial z} + \tau_{xz} \dfrac{\partial w}{\partial x}$$

$$+ u \dfrac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + u \dfrac{\partial \t... ...tau_{xz}}{\partial x} + w \dfrac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} \bigg\} dxdydz$$

$$= \bigg( - P \dfrac{\partial u}{\partial x} - P \dfrac{\partial v}{... ...artial x} - v \dfrac{\partial P}{\partial y} - w \dfrac{\partial P}{\partial z}$$

$$\underbrace{ + u \dfrac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + v \dfra... ...} + w \dfrac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} }_{加速され運動エネルギーとなる項}$$

$$\underbrace{ + \tau_{xx} \dfrac{\pa... ...を付録\ref{sec-Dissipation}(p.\pageref{sec-Dissipation})に記す。} \bigg) dxdydz$$ (2.180)

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