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2.5.3.1 圧縮性流体(密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]は変化する)

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面左

$\displaystyle - \rho_{x -}D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{x -}} \cdot \bm{A}_{x -}= ...
...{x -}D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dydz$ (2.207)

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面右

$\displaystyle - \rho_{x +}$ $\displaystyle D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{x +}} \cdot \bm{A}_{x +}= - \rho_{x +}D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \bigg\vert _{x +}dydz$    
  $\displaystyle = - D_i \bigg( \rho_{x -} + \left. \dfrac{\partial \rho}{\partial...
...artial \omega_i}{\partial x} }{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = - D_i \bigg( \rho_{x -} + \left. \dfrac{\partial \rho}{\partial...
...} + \frac{\partial ^2 \omega_i }{\partial x^2 } \bigg\vert _{x -}dx \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = - D_i \bigg( \rho_{x -}\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial...
... }{\partial x^2 } \bigg\vert _{x -}dx^2}_{十分に小さいため無視する} \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = - D_i \bigg( \rho_{x -}\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial...
...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$ (2.208)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面下

$\displaystyle - \rho_{y -}D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{y -}} \cdot \bm{A}_{y -} =...
...{y -}D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dzdx$ (2.209)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面上

$\displaystyle - \rho_{y +}$ $\displaystyle D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{y +}} \cdot \bm{A}_{y +}= - \rho_{y +}D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \bigg\vert _{y +}dzdx$    
  $\displaystyle = - D_i \bigg( \rho_{y -}\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial...
...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$ (2.210)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面後

$\displaystyle - \rho_{z -}D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{z -}} \cdot \bm{A}_{z -} =...
...{z -}D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdy$ (2.211)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面前

$\displaystyle - \rho_{z +}$ $\displaystyle D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{z +}} \cdot \bm{A}_{z +}= - \rho_{z +}D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg\vert _{z +}dxdy$    
  $\displaystyle = - D_i \bigg( \rho_{z -}\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial...
...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$ (2.212)

$ xyz$ 軸に垂直な面それぞれ足し合わせる。その和が"拡散による成分の質量の出入"になる。展開後に微分の四乗となる項 $ (dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。

$ x$ 軸に垂直面
式(2.208)$ -$ 式(2.209)

$\displaystyle - \rho$ $\displaystyle D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x...
...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = D_i \bigg( \rho \left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x^...
...\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \bigg) dxdydz$ (2.213)

$ y$ 軸に垂直面
式(2.210)$ -$ 式(2.211)

$\displaystyle - \rho$ $\displaystyle D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y...
...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$    
  $\displaystyle = D_i \bigg( \rho \left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial y^...
...\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \bigg) dxdydz$ (2.214)

$ z$ 軸に垂直面
式(2.212)$ -$ 式(2.213)

$\displaystyle - \rho$ $\displaystyle D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z...
...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$    
  $\displaystyle = D_i \bigg( \rho \left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial z^...
...\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} \bigg) dxdydz$ (2.215)

xyz軸での出入の総和式(2.214)$ +$ 式(2.215)$ +$ 式(2.216)をとると、コントロールボリューム全体での拡散による成分の質量の出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($ dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.[*])。

$\displaystyle D_i$ $\displaystyle \bigg( \rho \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x^2 } + \dfrac{...
...{\partial \rho}{\partial z} \dfrac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg) dxdydz$    
  $\displaystyle = D_i \bigg\{ \rho \bigg( \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x...
...\partial \rho}{\partial z} \dfrac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg\} dxdydz$    
  $\displaystyle = D_i \big( \rho \bm{\nabla}^2 \omega_i + \bm{\nabla} \rho \cdot \bm{\nabla} \omega_i \big) dxdydz$    
  $\displaystyle = D_i \bm{\nabla} \cdot \big( \rho \bm{\nabla} \omega_i \big) dxdydz$ (2.216)


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