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A.1.4 テーラー展開

$x=a$ で無限回微分可能なとき

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3$$

$$\hspace{90pt} + \frac{f''''(a)}{4!}(x-a)^4 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots$$ (A.5)

式(A.5)において、$x$ を $x+\Delta x$ 、$a$ を$x$ とすると、

$$f(x+\Delta x) = f(x) + f'(x)(\Delta x) + \frac{f''(x)}{2!}(\Delta x)^2 + \frac{f'''(x)}{3!}(\Delta x)^3$$

$$\hspace{90pt} + \frac{f''''(x)}{4!}(\Delta x)^4 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x)}{n!}(\Delta x)^n + \cdots$$

$$= f(x) + \frac{\partial }{\partial x}f(x)\Delta x + \frac{1}{2}\fra... ...}f(x)(\Delta x)^2 + \frac{1}{6}\frac{\partial ^3}{\partial x^3}f(x)(\Delta x)^3$$

$$\hspace{90pt} + \frac{1}{24}\frac{\partial ^4}{\partial x^4}f(x)(... ... \cdots + \frac{1}{n!}\frac{\partial ^n}{\partial x^n}f(x)(\Delta x)^n + \cdots$$ (A.6)

式(A.5)において、$x$ を$x + dx$ 、$a$ を$x$ とすると、

$$f(x+dx) = f(x) + f'(x)(dx) + \frac{f''(x)}{2!}(dx)^2 + \frac{f'''(x)}{3!}(dx)^3$$

$$\hspace{90pt} + \frac{f''''(x)}{4!}(dx)^4 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x)}{n!}(dx)^n + \cdots$$

$$= f(x) + \frac{\partial }{\partial x}f(x)dx + \frac{1}{2}\frac{\par... ...\partial x^2}f(x)(dx)^2 + \frac{1}{6}\frac{\partial ^3}{\partial x^3}f(x)(dx)^3$$

$$\hspace{90pt} + \frac{1}{24}\frac{\partial ^4}{\partial x^4}f(x)(dx)^4 + \cdots + \frac{1}{n!}\frac{\partial ^n}{\partial x^n}f(x)(dx)^n + \cdots$$

$dx$ の2乗以上の項は高次の無限小の項となるので無視すると次式となる。

$$f(x+dx) = f(x) + \dfrac{\partial }{\partial x}f(x) dx$$ (A.7)

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