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A.1.3 $ \nabla $ の計算

$ \bm{\nabla}$ (ナブラ)はベクトルで次式で表される。

$\displaystyle \bm{\nabla} = \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial }{\partial ...
...{\partial y} \vspace{.5em} \\ \dfrac{\partial }{\partial z} \end{array} \right)$    

スカラーとの積、例えば温度$ T$ との積は次式のようになる。

$\displaystyle \bm{\nabla} T = \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial }{\partia...
...\partial y} \vspace{.5em} \\ \dfrac{\partial T}{\partial z} \end{array} \right)$    

ベクトルとの積(内積)、例えば速度ベクトル$ \bm{v}$ との積は次のようになる。ベクトルの内積なので、積はスカラー量となる。先に速度ベクトル$ \bm{v}$ を示す。

$\displaystyle \bm{v} = \left( \begin{array}{c} u \vspace{.5em} \\ v \vspace{.5em} \\ w \end{array} \right)$    

$\displaystyle \bm{\nabla} \cdot \bm{v} = \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partia...
...}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z}$    

次にスカラーとベクトルの積との内積、例えばスカラーの密度$ \rho $ と速度ベクトル$ \bm{v}$ では次のようになる。ベクトルとの内積なので、積はスカラー量となる。

$\displaystyle \bm{\nabla} \cdot (\rho \bm{v})$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial }{\partial x} \vspace{....
...}{c} \rho u \vspace{.5em} \\ \rho v \vspace{.5em} \\ \rho w \end{array} \right)$    
  $\displaystyle = \dfrac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \dfrac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \dfrac{\partial (\rho w)}{\partial z}$    
  $\displaystyle = \rho \dfrac{\partial u}{\partial x} + u \dfrac{\partial \rho}{\...
... y} + \rho \dfrac{\partial w}{\partial z} + w \dfrac{\partial \rho}{\partial z}$    
  $\displaystyle = \rho \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}...
... x} + v \dfrac{\partial \rho}{\partial y} + w \dfrac{\partial \rho}{\partial z}$    
  $\displaystyle = \rho \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \rho$    

次にスカラー2つとベクトルの積との内積、例えばスカラーの密度$ \rho $ とスカラーの温度$ T$ と速度ベクトル$ \bm{v}$ では次のようになる。ベクトルとの内積なので、積はスカラー量となる。

$\displaystyle \bm{\nabla} \cdot (\rho T \bm{v})$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial }{\partial x} \vspace{....
...rho T u \vspace{.5em} \\ \rho T v \vspace{.5em} \\ \rho T w \end{array} \right)$    
  $\displaystyle = \dfrac{\partial (\rho T u)}{\partial x} + \dfrac{\partial (\rho T v)}{\partial y} + \dfrac{\partial (\rho T w)}{\partial z}$    
  $\displaystyle = \rho T \dfrac{\partial u}{\partial x} + \rho u \dfrac{\partial ...
...+ \rho w \dfrac{\partial T}{\partial z} + T w \dfrac{\partial \rho}{\partial z}$    
  $\displaystyle = \rho T \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial ...
... \dfrac{\partial \rho}{\partial y} + w \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg)$    
  $\displaystyle = \rho T \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T + T \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \rho$    


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