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2.1.2 支配方程式

前の2.1.1節の水槽と同様に、時間$ t$ [s]から$ \Delta t$ [s]経過した際の保存の関係を知りたい物理量に対して考える。また、水槽の代わりに保存を考える対象をコントロールボリューム（境界領域）とする。コントロールボリューム内の体積に対して物理量が変化（生成や消滅）することがあるのでその項を加える。

\begin{multline*} 内部の物理量(t + \Delta t) - 内部の物理量(t) = \\ \Delta t ... ...出入する物理量 + \Delta t の間に変化する内部の体積に対する物理量 \end{multline*}

時間あたりの出入量、変化量と経過時間$ \Delta t$ [s]で表すと次式となる。

\begin{multline*} 内部の物理量(t + \Delta t) - 内部の物理量(t) = \\ （時間あ�... ...lta t + （時間あたりの内部の）体積に対する変化量 \times \Delta t \end{multline*}

両辺を経過時間$ \Delta t$ で割る。

$\displaystyle \dfrac{内部の物理量(t + \Delta t) - 内部の物理量(t)}{\Delta t} = 境界面での出入量 + 体積に対する変化量$    

時間の変化$ \Delta t$ [s]が限りなく小さい場合には次式となる。

$\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \left\{ \dfrac{内部の物理量(t + \Delta t) - 内部の物理量(t)}{\Delta t} \right\}$ $\displaystyle = 境界面での出入量 + 体積に対する変化量$    
$\displaystyle \dfrac{\partial 内部の物理量(t)}{\partial t}$ $\displaystyle = 境界面での出入量 + 体積に対する変化量$ (2.2)

境界面での出入量は、次式のように境界面に流入する流体によって運ばれる出入量と境界面での作用による出入量に分けられる。境界面での作用には分子運動による拡散などがある。

\begin{multline} （時間あたりの）境界面での出入量 =\\ （時間あたりの）境界面�... ...燭个譴襦暴估�量 \\ + （時間あたりの）境界面での作用による出入量 \end{multline}

式(2.2) $ ^{\text{p.\pageref{eq-GovJ0}}}$ と式(2.3) $ ^{\text{p.\pageref{eq-GovInOut}}}$ より一般的に支配方程式は次の形で書き表される。

$\displaystyle \dfrac{\partial 内部の物理量(t)}{\partial t} =$ $\displaystyle 境界面での対流による出入量 + 境界面での作用による出入量 + 体積に対する変化量$ (2.3)

式(2.4) $ ^{\text{p.\pageref{eq-GovJ1}}}$ の左辺のコントロールボリューム内に持っている物理量の時間変化の項を非定常項と呼び、正の値であれば時間経過と共にコントロールボリューム内の物理量が増加し、例えば運動量であれば速度が速くなる。保存量がエネルギーであればコントロールボリュームでの温度が上昇する。右辺の出入量の合計がゼロであれば時間経過に対して変化がなくなり、定常状態と呼ぶ。

2.2節以降では次の保存対象について、それぞれ支配方程式（保存式）をたてる。

支配方程式をたてる際は、流体は等方的でかつ密度以外の物性値など（粘性係数$ \mu$ [Pa$ \cdot$ s]、定積比熱$ c_v$ [J/(K$ \cdot$ kg)]、熱伝導率$ k$ [W/(K$ \cdot$ m)]、物質拡散係数$ D_i$ [m$ ^2$ /s]、重力加速度$ \bm{g}$ [m/s$ ^2$ ]）は一定であると仮定する。

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