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2.5.3.1 圧縮性流体(密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]は変化する)

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面左

$\displaystyle - \rho_{x -}D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{x -}} \cdot \bm{A}_{x -}= ...
...{x -}D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dydz$ (2.213)

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面右

$\displaystyle - \rho_{x +}$ $\displaystyle D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{x +}} \cdot \bm{A}_{x +}= - \rho_{x +}D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \bigg\vert _{x +}dydz$    
  $\displaystyle = - D_i \bigg( \rho_{x -} + \left. \dfrac{\partial \rho}{\partial...
...artial \omega_i}{\partial x} }{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = - D_i \bigg( \rho_{x -} + \left. \dfrac{\partial \rho}{\partial...
...} + \frac{\partial ^2 \omega_i }{\partial x^2 } \bigg\vert _{x -}dx \bigg) dydz$    
  % latex2html id marker 24326 $\displaystyle = - D_i \bigg( \rho_{x -}\left. \fr...
...{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm})} \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = - D_i \bigg( \rho_{x -}\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial...
...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$ (2.214)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面下

$\displaystyle - \rho_{y -}D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{y -}} \cdot \bm{A}_{y -} =...
...{y -}D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dzdx$ (2.215)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面上

$\displaystyle - \rho_{y +}$ $\displaystyle D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{y +}} \cdot \bm{A}_{y +}= - \rho_{y +}D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \bigg\vert _{y +}dzdx$    
  $\displaystyle = - D_i \bigg( \rho_{y -}\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial...
...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$ (2.216)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面後

$\displaystyle - \rho_{z -}D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{z -}} \cdot \bm{A}_{z -} =...
...{z -}D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdy$ (2.217)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面前

$\displaystyle - \rho_{z +}$ $\displaystyle D_i \bm{\nabla} \omega_{i,{z +}} \cdot \bm{A}_{z +}= - \rho_{z +}D_i \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg\vert _{z +}dxdy$    
  $\displaystyle = - D_i \bigg( \rho_{z -}\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial...
...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$ (2.218)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$ xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる2.292.1.6 $ ^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ )。

$ x$ 軸に沿った出入
式(2.214)$ -$ 式(2.215)

$\displaystyle - \rho$ $\displaystyle D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x...
...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = D_i \bigg( \rho \left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x^...
...\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \bigg) dxdydz$ (2.219)

$ y$ 軸に沿った出入
式(2.216)$ -$ 式(2.217)

$\displaystyle - \rho$ $\displaystyle D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y...
...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$    
  $\displaystyle = D_i \bigg( \rho \left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial y^...
...\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \bigg) dxdydz$ (2.220)

$ z$ 軸に沿った出入
式(2.218)$ -$ 式(2.219)

$\displaystyle - \rho$ $\displaystyle D_i \left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z...
...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$    
  $\displaystyle = D_i \bigg( \rho \left. \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial z^...
...\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} \bigg) dxdydz$ (2.221)

xyz軸での出入の総和、式(2.220)$ +$ 式(2.221)$ +$ 式(2.222)をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($ dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7 $ ^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での拡散による成分の質量の出入は次式で表される2.30

$\displaystyle D_i$ $\displaystyle \bigg( \rho \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x^2 } + \dfrac{...
...{\partial \rho}{\partial z} \dfrac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg) dxdydz$    
  $\displaystyle = D_i \bigg\{ \rho \bigg( \dfrac{\partial ^2 \omega_i}{\partial x...
...\partial \rho}{\partial z} \dfrac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg\} dxdydz$    
  $\displaystyle = D_i \big( \rho \bm{\nabla} \cdot \bm{\nabla} \omega_i + \bm{\nabla} \rho \cdot \bm{\nabla} \omega_i \big) dxdydz$    
  $\displaystyle = D_i \bm{\nabla} \cdot \big( \rho \bm{\nabla} \omega_i \big) dxdydz$ (2.222)


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