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2.5.2.2 非圧縮性流体(密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]は一定)

対流により各面で時間当たりに出入する量は式(2.193) $ ^{\text{\pageref{eq-component-adv}}}$ と各面の質量流量の式(2.27)-(2.32) $ ^{\text{p.\pageref{eq-mass_f_x}}}$ より次のように求まる。途中で相対する面の関係を式(2.11) $ ^{\text{p.\pageref{eq-diffplus}}}$ を用いて求める。

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面左

$\displaystyle \omega_{i,{x -}} \dot{m}_{x -}= \rho \omega_{i,{x -}} u_{x -}dydz$ (2.203)

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面右

$\displaystyle \omega_{i,{x +}}$ $\displaystyle \dot{m}_{x +}= \rho \omega_{i,{x +}} u_{x +}dydz$    
  $\displaystyle = \rho \bigg( \omega_{i,{x -}} + \left. \frac{\partial \omega_i}{...
...-} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$    
  % latex2html id marker 24219 $\displaystyle = \rho \bigg( \omega_{i,{x -}} u_{x...
...{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm})} \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = \rho \bigg( \omega_{i,{x -}} u_{x -}+ \omega_{i,{x -}} \left. \...
...left. \frac{\partial \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = \rho \bigg( \omega_{i,{x -}} u_{x -}+ \left. \frac{\partial (\omega_{i} u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$ (2.204)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面下

$\displaystyle \omega_{i,{y -}} \dot{m}_{y -}= \rho \omega_{i,{y -}} v_{y -}dzdx$ (2.205)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面上

$\displaystyle \omega_{i,{y +}}$ $\displaystyle \dot{m}_{y +}= \rho \omega_{i,{y +}} v_{y +}dzdx$    
  $\displaystyle = \rho \bigg( \omega_{i,{y -}} v_{y -}+ \left. \frac{\partial (\omega_{i} v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$ (2.206)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面後

$\displaystyle \omega_{i,{z -}} \dot{m}_{z -}= \rho \omega_{i,{z -}} w_{z -}dxdy$ (2.207)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面前

$\displaystyle \omega_{i,{z +}}$ $\displaystyle \dot{m}_{z +}= \rho \omega_{i,{z +}} w_{z +}dxdy$    
  $\displaystyle = \rho \bigg( \omega_{i,{z -}} w_{z -}+ \left. \frac{\partial (\omega_{i} w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$ (2.208)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$ xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる2.282.1.6 $ ^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ )。

$ x$ 軸に沿った出入
式(2.204)$ -$ 式(2.205)

$\displaystyle \rho$ $\displaystyle \omega_{i,{x -}} u_{x -}dydz - \rho \bigg( \omega_{i,{x -}} u_{x ...
...\frac{\partial (\omega_{i} u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = - \rho \left. \frac{\partial (\omega_{i} u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$ (2.209)

$ y$ 軸に沿った出入
式(2.206)$ -$ 式(2.207)

$\displaystyle \rho$ $\displaystyle \omega_{i,{y -}} v_{y -}dzdx - \rho \bigg( \omega_{i,{y -}} v_{y ...
...\frac{\partial (\omega_{i} v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$    
  $\displaystyle = - \rho \left. \frac{\partial (\omega_{i} v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$ (2.210)

$ z$ 軸に沿った出入
式(2.208)$ -$ 式(2.209)

$\displaystyle \rho$ $\displaystyle \omega_{i,{z -}} w_{z -}dxdy - \rho \bigg( \omega_{i,{z -}} w_{z ...
...\frac{\partial (\omega_{i} w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$    
  $\displaystyle = - \rho \left. \frac{\partial (\omega_{i} w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$ (2.211)

xyz軸での出入の総和、式(2.210)$ +$ 式(2.211)$ +$ 式(2.212)をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($ dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7 $ ^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での対流による成分の質量の出入は次式で表される。

$\displaystyle - \rho$ $\displaystyle \dfrac{\partial (\omega_i u)}{\partial x} dxdydz - \rho \dfrac{\p...
... v)}{\partial y} dxdydz - \rho \dfrac{\partial (\omega_i w)}{\partial z} dxdydz$    
  $\displaystyle = - \rho \bigg( \omega_{i} \dfrac{\partial u}{\partial x} + u \df...
...\partial w}{\partial z} + w \dfrac{\partial \omega_i}{\partial z} \bigg) dxdydz$    
  % latex2html id marker 24292 $\displaystyle = - \rho \bigg\{ u \dfrac{\partial ...
... \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg)}_{式(\ref{eq-mass})より0} \bigg\} dxdydz$    
  $\displaystyle = - \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \omega_i dxdydz$ (2.212)


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