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2.4.2.9 非圧縮性流体(密度$ \rho $ [kg/m$ ^3$ ]は一定)

対流により各面で時間当たりに出入する量は式(2.139) $ ^{\text{p.\pageref{eq-internal-adv}}}$ と各面の質量流量の式(2.27)-(2.32) $ ^{\text{p.\pageref{eq-mass_f_x}}}$ より次のように求まる。途中で相対する面の関係を式(2.11) $ ^{\text{p.\pageref{eq-diffplus}}}$ を用いて求める。

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面左

$\displaystyle \dot{m}_{x -}c_v T_{x -}= \rho c_v T_{x -}u_{x -}dydz$ (2.149)

$ x$ 軸に垂直 $ yz$ 面右

$\displaystyle \dot{m}_{x +}c_v T_{x +}$ $\displaystyle = \rho c_v T_{x +}u_{x +}dydz$    
  $\displaystyle = \rho c_v \bigg( T_{x -} + \left. \frac{\partial T}{\partial x} ...
...-} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$    
  % latex2html id marker 23502 $\displaystyle = \rho c_v \bigg( T_{x -}u_{x -}+ T...
...{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm})} \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = \rho c_v \bigg( T_{x -}u_{x -}+ T_{x -}\left. \frac{\partial u}...
..._{x -}\left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = \rho c_v \bigg( T_{x -}u_{x -}+ \left. \frac{\partial (Tu)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$ (2.150)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面下

$\displaystyle \dot{m}_{y -}c_v T_{y -}= \rho c_v T_{y -}v_{y -}dzdx$ (2.151)

$ y$ 軸に垂直 $ zx$ 面上

$\displaystyle \dot{m}_{y +}c_v T_{y +}$ $\displaystyle = \rho c_v T_{y +}v_{y +}dzdx$    
  $\displaystyle = \rho c_v \bigg( T_{y -}v_{y -}+ \left. \frac{\partial (Tv)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$ (2.152)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面後

$\displaystyle \dot{m}_{z -}c_v T_{z -}= \rho c_v T_{z -}w_{z -}dxdy$ (2.153)

$ z$ 軸に垂直 $ xy$ 面前

$\displaystyle \dot{m}_{z +}c_v T_{z +}$ $\displaystyle = \rho c_v T_{z +}w_{z +}dxdy$    
  $\displaystyle = \rho c_v \bigg( T_{z -}w_{z -}+ \left. \frac{\partial (Tw)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$ (2.154)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$ xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる2.222.1.6 $ ^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ )。

$ x$ 軸に沿った出入
式(2.150)$ -$ 式(2.151)

$\displaystyle \rho$ $\displaystyle c_v T_{x -}u_{x -}dydz - \rho c_v \bigg( T_{x -}u_{x -}+ \left. \frac{\partial (Tu)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$    
  $\displaystyle = - \rho c_v \left. \frac{\partial (Tu)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$ (2.155)

$ y$ 軸に沿った出入
式(2.152)$ -$ 式(2.153)

$\displaystyle \rho$ $\displaystyle c_v T_{y -}v_{y -}dzdx - \rho c_v \bigg( T_{y -}v_{y -}+ \left. \frac{\partial (Tv)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$    
  $\displaystyle = - \rho c_v \left. \frac{\partial (Tv)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$ (2.156)

$ z$ 軸に沿った出入
式(2.154)$ -$ 式(2.155)

$\displaystyle \rho$ $\displaystyle c_v T_{z -}w_{z -}dxdy - \rho c_v \bigg( T_{z -}w_{z -}+ \left. \frac{\partial (Tw)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$    
  $\displaystyle = - \rho c_v \left. \frac{\partial (Tw)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$ (2.157)

xyz軸での出入の総和、式(2.156)$ +$ 式(2.157)$ +$ 式(2.158)をとる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($ dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7 $ ^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。コントロールボリューム全体での対流による内部エネルギーの出入は次式で表される。

$\displaystyle - \rho$ $\displaystyle c_v \bigg( \dfrac{\partial (Tu)}{\partial x} + \dfrac{\partial (Tv)}{\partial y} + \dfrac{\partial (Tw)}{\partial z} \bigg) dxdydz$    
  $\displaystyle = - \rho c_v \bigg( T \dfrac{\partial u}{\partial x} + u \dfrac{\...
...\dfrac{\partial w}{\partial z} + w \dfrac{\partial T}{\partial z} \bigg) dxdydz$    
  % latex2html id marker 23575 $\displaystyle = - \rho c_v \bigg\{ u \dfrac{\part...
...\dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) }_{式(\ref{eq-mass})より0} \bigg\} dxdydz$    
  $\displaystyle = - \rho c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T dxdydz$ (2.158)


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