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2.2.2.1 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

対流により各面で時間当たりに出入する量は式(2.16) $^{\text{p.\pageref{eq-mass-adv}}}$ に示すように質量流量$\dot{m}$ [kg/s] であり、速度ベクトル $\bm{v}=(u, v, w)$ [m/s]と面積ベクトル(式(2.5)-式(2.10) $^{\text{p.\pageref{eq-Areax}}}$ 、密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]によりそれぞれの面で次のように表される。途中で相対する面の関係を式(2.11) $^{\text{p.\pageref{eq-diffplus}}}$ を用いて求める。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\dot{m}_{x -}= \rho_{x -}\bm{v}_{x -}\cdot \bm{A}_{x -}= \rho_{x -}u_{x -}dydz$$ (2.16)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\dot{m}_{x +} = \rho_{x +}\bm{v}_{x +}\cdot \bm{A}_{x +}= \rho_{x +}u_{x +}dydz... ...-} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$$

$$= \bigg( \rho_{x -}u_{x -}+ \rho_{x... ...{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）} \bigg) dydz$$ (2.17)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\dot{m}_{y -}= \rho_{y -}\bm{v}_{y -}\cdot \bm{A}_{y -}= \rho_{y -}v_{y -}dzdx$$ (2.18)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\dot{m}_{y +} = \rho_{y +}\bm{v}_{y +}\cdot \bm{A}_{y +}= \rho_{y +}v_{y +}dzdx... ...-} + \left. \frac{\partial v}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} d y \bigg) dzdx$$

$$= \bigg( \rho_{y -}v_{y -}+ \rho_{y... ...{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）} \bigg) dzdx$$ (2.19)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\dot{m}_{z -}= \rho_{z -}\bm{v}_{z -}\cdot \bm{A}_{z -}= \rho_{z -}w_{z -}dxdy$$ (2.20)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\dot{m}_{z +} = \rho_{z +}\bm{v}_{z +}\cdot \bm{A}_{z +}= \rho_{z +}w_{z +}dxdy... ...-} + \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} d z \bigg) dxdy$$

$$= \bigg( \rho_{z -}w_{z -}+ \rho_{z... ...{sec-DifferentialTerm}節 {\rm p}. \pageref{sec-DifferentialTerm}）} \bigg) dxdy$$ (2.21)

上六式から、まずそれぞれの軸に沿った出入を求める。$xyz$ の各軸にそってコントロールボリュームから出て行く方向が負、入る方向が正になるように符号を加え、向かい合う面を足し合わせる^2.6（2.1.6節 $^{\text{p.\pageref{sec-Difference}}}$ ）。

$x$ 軸に沿った出入

式(2.17)$-$ 式(2.18)

$$- \bigg( \rho_{x -}\left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\ve... ...x -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \bigg) dxdydz$$ (2.22)

$y$ 軸に沿った出入

式(2.19)$-$ 式(2.20)

$$- \bigg( \rho_{y -}\left. \frac{\partial v}{\partial y} \right\ve... ...y -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \bigg) dxdydz$$ (2.23)

$z$ 軸に沿った出入

式(2.21)$-$ 式(2.22)

$$- \bigg( \rho_{z -}\left. \frac{\partial w}{\partial z} \right\ve... ...z -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} \bigg) dxdydz$$ (2.24)

xyz軸での出入の総和、式(2.23)$+$ 式(2.24)$+$ 式(2.25)をとると、コントロールボリューム全体での対流による質量の出入が次式で求められる。ここで、全ての項がコントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られているため各境界面での区別はせず(2.1.7節 $^{\text{p.\pageref{sec-DifferentialTerm}}}$ )、下付きを外す。

$$- \bigg\{ \rho \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg) + u \dfrac{\partial \rho}{\partial x} + v \dfrac{\partial \rho}{\pa... ...ydz = - (\rho \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \rho ) dxdydz$$

$$= - \bm{\nabla} \cdot (\rho \bm{v}) dxdyxz$$ (2.25)

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