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2.5.2.1 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

それぞれの面について、質量流量$\dot{m}$ [kg/s]の式(2.13)-(2.18)より以下が求まる。その際、展開後に微分の四乗となる項 $(dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\omega_{i,{x -}} \dot{m}_{x -}= \rho_{x -}\omega_{i,{x -}} u_{x -}dydz$$ (2.187)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\omega_{i,x+dx} \dot{m}_{x +} = \rho_{x +}\omega_{i,x+dx} u_{x +}dydz$$

$$= \bigg( \rho_{x -} + \left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \righ... ...-} + \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$$

$$= \bigg( \rho_{x -}\omega_{i,{x -}} u_{x -}+ \rho_{x -}\omega_{i,{x... ...,{x -}} u_{x -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx$$

$$\underbrace{+ \rho_{x -}\left. \frac{\partial \omega_i}{\partial ... ...l \omega_i}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx^2 }_{十分に小さいため無視する}$$

$$\underbrace{ + \left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \right\ver... ...\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx^3 }_{十分に小さいため無視する} \bigg) dydz$$

$$= \bigg( \rho_{x -}\omega_{i,{x -}} u_{x -}+ \rho_{x -}\omega_{i,{x... ... -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= \bigg( \rho_{x -}\omega_{i,{x -}} u_{x -}+ \left. \frac{\partial (\rho \omega_{i} u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$ (2.188)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\omega_{i,{y -}} \dot{m}_{y -}= \rho_{y -}\omega_{i,{y -}} v_{y -}dzdx$$ (2.189)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\omega_{i,y+dy} \dot{m}_{y +} = \rho_{y +}\omega_{i,y+dy} v_{y +}dzdx$$

$$= \bigg( \rho_{y -}\omega_{i,{y -}} v_{y -}+ \left. \frac{\partial (\rho \omega_{i} v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.190)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\omega_{i,{z -}} \dot{m}_{z -}= \rho_{z -}\omega_{i,{z -}} w_{z -}dxdy$$ (2.191)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\omega_{i,z+dz} \dot{m}_{z +}= \rho_{z +}\omega_{i,z+dz} w_{z +}dxdy$$

$$= \bigg( \rho_{z -}\omega_{i,{z -}} w_{z -}+ \left. \frac{\partial (\rho \omega_{i} w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$ (2.192)

$xyz$ 軸に垂直な面それぞれ足し合わせる。その和が"対流による成分の質量の出入"になる。

$x$ 軸に垂直面

式(2.188)$-$ 式(2.189)

$$\rho_{x -} \omega_{i,{x -}} u_{x -}dydz - \bigg( \rho_{x -}\omega_{i,{x -}} ... ...{\partial (\rho \omega_{i} u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= - \left. \frac{\partial (\rho \omega_{i} u)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.193)

$y$ 軸に垂直面

式(2.190)$-$ 式(2.191)

$$\rho_{y -} \omega_{i,{y -}} v_{y -}dzdx - \bigg( \rho_{y -}\omega_{i,{y -}} ... ...{\partial (\rho \omega_{i} v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= - \left. \frac{\partial (\rho \omega_{i} v)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.194)

$z$ 軸に垂直面

式(2.192)$-$ 式(2.193)

$$\rho_{z -} \omega_{i,{z -}} w_{z -}dxdy - \bigg( \rho_{z -}\omega_{i,{z -}} ... ...{\partial (\rho \omega_{i} w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$

$$= - \left. \frac{\partial (\rho \omega_{i} w)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.195)

xyz軸での出入の総和式(2.194)$+$ 式(2.195)$+$ 式(2.196)をとると、コントロールボリューム全体での対流による成分の質量の出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.)。

$$- \dfrac{\partial (\rho \omega_i u)}{\partial x} dxdydz - \dfrac{... ... v)}{\partial y} dxdydz - \dfrac{\partial (\rho \omega_i w)}{\partial z} dxdydz$$

$$= - \bigg( \rho \omega_{i} \dfrac{\partial u}{\partial x} + \rho ... ...a_i}{\partial z} + \omega_{i} w \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - \bigg\{ \rho \bigg( u \dfrac{\partial \omega_i}{\partial x} +... ...l \rho}{\partial y} + w \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) \bigg\} dxdydz$$

$$= - \big( \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \omega_i + \rho \omega_i \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + \omega_i \bm{v} \cdot \bm{\nabla}\rho \big) dxdydz$$

$$= - \bm{\nabla} \cdot (\rho \omega_i \bm{v}) dxdydz$$ (2.196)

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