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2.4.2.2 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

対流によるそれぞれの面での運動エネルギーの出入について、式（2.92）の質量流量$\dot{m}$ [kg/s]へ式（2.13）-（2.18）を代入すると次のようになる。その際、展開後に微分の四乗となる項 $(dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{x -}\bm{v}_{x -}^2 = \frac{1} {2} \rho_{x -}u_{x -}\bm{v}_{x -}^2 dydz$$ (2.94)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\frac{1}{2} \dot{m} _{x +}\bm{v}_{x +}^2 = \frac{1} {2} \rho_{x +}u_{x +}\bm{v}_{x +}^2 dydz$$

$$= \frac{1}{2} \left( \rho_{x -} + \left. \frac{\partial \rho}{\part... ...eft. \frac{\partial \bm{v}}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg)^2 dydz$$

$$= \frac{1}{2} \bigg\{ \rho_{x -}u_{x -}\bm{v}_{x -}^2 + 2 \rho_{x -... ...\bm{v}_{x -}^2 \left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx$$

$$\underbrace{ + \rho_{x -}u_{x -}\bigg( \left. \frac{\partial \bm{... ...ial \bm{v}}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx^2 }_{十分に小さいため無視する}$$

$$\underbrace{ + \bm{v}_{x -}^2 \left. \frac{\partial \rho}{\partia... ...}}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \bigg)^2 dx^3 }_{十分に小さいため無視する}$$

$$\underbrace{ + 2 \bm{v}_{x -}\left. \frac{\partial \rho}{\partial... ...} \right\vert _ {{x -}} \bigg)^2 dx^4 }_{十分に小さいため無視する} \bigg\} dydz$$

$$= \frac{1}{2} \bigg( \rho_{x -}u_{x -}\bm{v}_{x -}^2 + \left. \dfrac{\partial (\rho u \bm{v}^2)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$ (2.95)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{y -}\bm{v}_{y -}^2 = \frac{1} {2} \rho_{y -}v_{y -}\bm{v}_{y -}^2 dzdx$$ (2.96)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{y +}\bm{v}_{y +}^2 = \frac{1} {2} \rho_{y +}v_{y +}\bm{v}_{y +}^2 dzdx$$

$$= \frac{1}{2} \bigg( \rho_{y -}v_{y -}\bm{v}_{y -}^2 + \left. \dfrac{\partial (\rho v \bm{v}^2)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$ (2.97)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面後

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{z -}\bm{v}_{z -}^2 = \frac{1} {2} \rho_{z -}w_{z -}\bm{v}_{z -}^2 dxdy$$ (2.98)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面前

$$\frac{1}{2} \dot{m}_{z +}\bm{v}_{z +}^2 = \frac{1} {2} \rho_{z +}w_{z +}\bm{v}_{z +}^2 dxdy$$

$$= \frac{1}{2} \bigg( \rho_{z -}w_{z -}\bm{v}_{z -}^2 + \left. \dfrac{\partial (\rho w \bm{v}^2)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$ (2.99)

$xyz$ 軸に垂直な面それぞれ足し合わせる。その和が“対流による運動エネルギーの出入"になる。

$x$ 軸に垂直面

式(2.95)$-$ 式(2.96)

$$\frac{1} {2} \rho_{x -} u_{x -}\bm{v}_{x -}^2 dydz - \frac{1}{2} \bigg( \rho_{x -}u_{x -}... ...ac{\partial (\rho u \bm{v}^2)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= - \frac{1}{2} \left. \frac{\partial \left( \rho u \bm{v}^2 \right)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$ (2.100)

$y$ 軸に垂直面

式(2.97)$-$ 式(2.98)

$$\frac{1} {2} \rho_{y -} v_{y -}\bm{v}_{y -}^2 dzdx - \frac{1}{2} \bigg( \rho_{y -}v_{y -}... ...ac{\partial (\rho v \bm{v}^2)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= - \frac{1} {2} \left. \frac{\partial \left( \rho v \bm{v}^2 \right)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$ (2.101)

$z$ 軸に垂直面

式(2.99)$-$ 式(2.100)

$$\frac{1} {2} \rho_{z -} w_{z -}\bm{v}_{z -}^2 dxdy - \frac{1}{2} \bigg( \rho_{z -}w_{z -}... ...ac{\partial (\rho w \bm{v}^2)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$

$$= - \frac{1} {2} \left. \frac{\partial \left( \rho w \bm{v}^2 \right)}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$ (2.102)

xyz軸での出入の総和式(2.101)$+$ 式(2.102)$+$ 式(2.103)をとると、コントロールボリューム全体での対流による運動エネルギーの出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.)。

$$- \frac{1} {2} \bigg( \dfrac{\partial \left( \rho u \bm{v}^2 \right)}{\partial x... ... y} + \dfrac{\partial \left( \rho w \bm{v}^2 \right)}{\partial z} \bigg) dxdydx$$

$$= - \frac{1}{2} \bigg\{ \bigg( \rho u \dfrac{\partial ( \bm{v}^2 )}... ...c{\partial v}{\partial y} + \bm{v}^2 v \dfrac{\partial \rho}{\partial y} \bigg)$$

$$\hspace{15em} + \bigg( \rho w \dfrac{\partial ( \bm{v}^2 )}{\part... ...partial z} + \bm{v}^2 w \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) \bigg\} dxdydx$$

$$= - \frac{1}{2} \bigg\{ \rho \bigg( u \dfrac{\partial ( \bm{v}^2 )}... ...l \rho}{\partial y} + w \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) \bigg\} dxdydx$$

$$= - \dfrac{1}{2} \{ \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla}( \bm{v}^2 ) + \rh... ...v}^2 \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + \bm{v}^2 \bm{v} \cdot \bm{\nabla}\rho \} dxdydx$$

$$= - \dfrac{1}{2} \bm{\nabla} \cdot ( \rho \bm{v}^2 \bm{v} ) dxdydz$$ (2.103)

上式を完全に展開すると以下のようになる。三行目の式から示す。

$$- \frac{1} {2} \bigg\{ \rho \bigg( u \dfrac{\partial ( \bm{v}^2 )}{\partial x} +... ...l \rho}{\partial y} + w \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) \bigg\} dxdydx$$

$$= - \frac{1}{2} \bigg\{ \rho \bigg( u \dfrac{\partial (u^2 + v^2 + ... ...2 + w^2)}{\partial y} + w \dfrac{\partial (u^2 + v^2 + w^2)}{\partial z} \bigg)$$

$$+ \rho (u^2 + v^2 + w^2) \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} + ... ...l \rho}{\partial y} + w \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) \bigg\} dxdydz$$

$$= - \frac{1}{2} \bigg\{ \rho \bigg( u \dfrac{\partial (u^2)}{\parti... ...dfrac{\partial (v^2)}{\partial z} + w \dfrac{\partial (w^2)}{\partial z} \bigg)$$

$$+ \rho \bigg( u^2 \dfrac{\partial u}{\partial x} + u^2 \dfrac{\pa... ... w^2 \dfrac{\partial v}{\partial y} + w^2 \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg)$$

$$+ \bigg( u^3 \dfrac{\partial \rho}{\partial x} + u^2 v \dfrac{\pa... ...\rho}{\partial y} + w^3 \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) \bigg\} dxdydz$$

$$= - \frac{1}{2} \bigg\{ 2 \rho \bigg( u^2 \dfrac{\partial u}{\parti... ... v w \dfrac{\partial v}{\partial z} + w^2 \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg)$$

$$+ \rho \bigg( u^2 \dfrac{\partial u}{\partial x} + u^2 \dfrac{\pa... ... w^2 \dfrac{\partial v}{\partial y} + w^2 \dfrac{\partial w}{\partial z} \bigg)$$

$$+ \bigg( u^3 \dfrac{\partial \rho}{\partial x} + u^2 v \dfrac{\pa... ...\rho}{\partial y} + w^3 \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg) \bigg\} dxdydz$$

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