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2.3.2.1 圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は変化する）

それぞれの面について、質量流量の式(2.13)-(2.18)により運動量を求める。その際、展開後に微分の四乗となる項 $(dx^2 dydz, dxdy^2 dz, dxdydz^2 )$ は十分に小さいため無視する。

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面左

$$\dot{m}_{x -}\bm{v}_{x -}= \rho_{x -}u_{x -}\bm{v}_{x -}dydz = \r... ...array}{c} u_{x -}^2 u_{x -}v_{x -} u_{x -}w_{x -} \end{array} \right) dydz$$ (2.37)

$x$ 軸に垂直 $yz$ 面右

$$\dot{m}_{x +} \bm{v}_{x +}= \rho_{x +}u_{x +}\bm{v}_{x +}dydz$$

$$= \bigg( \rho_{x -} + \left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \righ... ...\left. \frac{\partial \bm{v}}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} d x \bigg) dydz$$

$$= \bigg( \rho_{x -}u_{x -}\bm{v}_{x -... ... -}} }_{計算は付録の式(\ref{eq-dif_product3}) p. \pageref{eq-dif_product3}参照}$$

$$\underbrace{+ \rho_{x -}\left. \frac{\partial u}{\partial x} \rig... ...{\partial u}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx^2}_{十分に小さいため無視する}$$

$$\underbrace{+ \left. \frac{\partial \rho}{\partial x} \right\vert... ...{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx^3}_{十分に小さいため無視する} \bigg) dydz$$

$$= \bigg( \rho_{x -}u_{x -}\bm{v}_{x -}+ \left. \frac{\partial (\rho u \bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \bigg) dydz$$

$$= \left( \begin{array}{c} \rho_{x -}u_{x -}^2 + \left. \dfrac{\part... ...rtial (\rho u w)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx \end{array} \right) dydz$$ (2.38)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面下

$$\dot{m}_{y -}\bm{v}_{y -}= \rho_{y -}v_{y -}\bm{v}_{y -}dzdx = \r... ...array}{c} u_{y -}v_{y -} v_{y -}^2 v_{y -}w_{y -} \end{array} \right) dzdx$$ (2.39)

$y$ 軸に垂直 $zx$ 面上

$$\dot{m}_{y +} \bm{v}_{y +}= \rho_{y +}v_{y +}\bm{v}_{y +}dzdx$$

$$= \bigg( \rho_{y -}v_{y -}\bm{v}_{y -}+ \left. \frac{\partial (\rho v \bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \bigg) dzdx$$

$$= \left( \begin{array}{c} \rho_{y -}u_{y -}v_{y -}+ \left. \dfrac... ...rtial (\rho v w)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy \end{array} \right) dzdx$$ (2.40)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面下

$$\dot{m}_{z -}\bm{v}_{z -}= \rho_{z -}w_{z -}\bm{v}_{z -}dxdy = \r... ...{array}{c} u_{z -}w_{z -} v_{z -}w_{z -} w_{z -}^2 \end{array} \right) dxdy$$ (2.41)

$z$ 軸に垂直 $xy$ 面上

$$\dot{m}_{z +} \bm{v}_{z +}= \rho_{z +}w_{z +}\bm{v}_{z +}dxdy$$

$$= \bigg( \rho_{z -}w_{z -}\bm{v}_{z -}+ \left. \frac{\partial (\rho w \bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \bigg) dxdy$$

$$= \left( \begin{array}{c} \rho_{z -}u_{z -}w_{z -}+ \left. \dfrac... ...tial (\rho w^2 )}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz \end{array} \right) dxdy$$ (2.42)

出る方向が負となるように$xyz$ 軸に垂直な面それぞれを足し合わせ、その和が"対流による運動量の出入"となる。

$x$ 軸に垂直面

式(2.38)$-$ 式(2.39)

$$\rho_{x -} u_{x -}\bm{v}_{x -}dydz - \bigg( \rho_{x -}u_{x -}\bm{v}_{x -}+ \... ... \frac{\partial (\rho u\bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dx\bigg) dydz$$

$$= - \left. \frac{\partial (\rho u \bm{v})}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} dxdydz$$

$$= - \left( \begin{array}{c} \left. \dfrac{\partial (\rho u^2 )}{\... ...artial (\rho u w)}{\partial x} \right\vert _ {{x -}} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.43)

$y$ 軸に垂直面

式(2.40)$-$ 式(2.41)

$$\rho_{y -} v_{y -}\bm{v}_{y -}dydz - \bigg( \rho_{y -}v_{y -}\bm{v}_{y -}+ \... ... \frac{\partial (\rho v\bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dy\bigg) dzdx$$

$$= - \left. \frac{\partial (\rho v\bm{v})}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} dxdydz$$

$$= - \left( \begin{array}{c} \left. \dfrac{\partial (\rho u v)}{\p... ...artial (\rho v w)}{\partial y} \right\vert _ {{y -}} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.44)

$z$ 軸に垂直面

式(2.42)$-$ 式(2.43)

$$\rho_{z -} w_{z -}\bm{v}_{z -}dydz - \bigg( \rho_{z -}w_{z -}\bm{v}_{z -}+ \... ... \frac{\partial (\rho w\bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dz\bigg) dxdy$$

$$= - \left. \frac{\partial (\rho w\bm{v})}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} dxdydz$$

$$= - \left( \begin{array}{c} \left. \dfrac{\partial (\rho u w)}{\p... ...rtial (\rho w^2 )}{\partial z} \right\vert _ {{z -}} \end{array} \right) dxdydz$$ (2.45)

xyz軸での出入の総和、式(2.44)$+$ 式(2.45)$+$ 式(2.46)をとると、コントロールボリューム全体での対流による運動量の出入が次式で求められる。ここで、コントロールボリュームの体積($dxdydz$ )で括られている項の中での各境界面での区別はしない(2.1.7節 p.)。

$$- \bigg( \dfrac{\partial (\rho u\bm{v})}{\partial x} + \dfrac{\partial (\rho v\bm{v})}{\partial y} + \dfrac{\partial (\rho w\bm{v})}{\partial z} \bigg) dxdydz$$

$$= - \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial (\rho u^2 )}{\partial x... ...artial y} + \dfrac{\partial (\rho w^2 )}{\partial z} \end{array} \right) dxdydz$$

$$= - \left( \begin{array}{c} \bm{\nabla} \cdot (\rho u \bm{v}) \vspa... ...) \vspace{.5em} \bm{\nabla} \cdot (\rho w \bm{v}) \end{array} \right) dxdydz$$ (2.46)

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