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2.1.4 対数-対数　両対数グラフ

$x$ 軸、$y$ 軸共に対数となる両対数グラフでは図10のようになる。

図 10: 両対数グラフ

線形関数の式(2)を変形する。 $x = 10 ^X、 y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$$y = 100 x$$

$$y = 90 x + 500$$

$$10 ^Y = 90 \times 10 ^X + 500$$

$$\log_{10} 10 ^Y = \log_{10} (90 \times 10 ^X + 500)$$

$$Y = \log_{10} (90 \times 10 ^X + 500)$$

図10で線形関数は黒線に示すようにやや下に凸の曲線になっている。

べき関数の式(3)を変形する。 $x = 10 ^X、 y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$$y = 0.8 x ^2$$

$$10 ^Y = 0.8 \times (10 ^X )^2$$

$$\log_{10} 10 ^Y = \log_{10} \{0.8 \times (10 ^X) ^2\}$$

$$Y = \log_{10} 0.8 + \log_{10} (10 ^X )^2$$

$$Y \simeq 2 X - 0.09691$$

$Y$ と$X$ は線形関数となり、図10でべき関数は赤線に示すように直線で描かれる。定数$a$ 、$b$ で表したべき関数を同様に変形する。

$$y = a x^b$$

$$10 ^Y = a (10^X)^b$$

$$\log_{10} 10 ^Y = \log_{10} a (10^X)^b$$

$$Y = \log_{10} a + \log_{10} 10^bX$$

$$Y = \log_{10} a + b X$$

グラフの傾きが$b$ 、切片が $\log_{10} a$ となる。この読みとった傾きと切片から元の関数の$a$ と$b$ が計算できる。

指数関数の式(4)を変形する。 $x = 10 ^X、 y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$$y = 0.9 \times 1.1^x$$

$$10 ^Y = 0.9 \times 1.1^{10 ^X}$$

$$Y = \log_{10} (0.9 \times 1.1^{10^X})$$

$$Y = \log_{10} 0.9 + 10 ^X \log_{10} 1.1$$

$$Y \simeq 0.04139 \times 10^X - 0.04576$$

$Y$ と$X$ は指数関数に近い形となり、図10の指数関数を表す青線は線形-線形グラフ（図7）の指数関数（青線）と近い下に凸の曲線になっている。

対数関数の式(5)を変形する。 $x = 10 ^X、 y = 10 ^Y$ を代入し、両辺の10の対数を取る。

$$y = 2000 \log_{e}x$$

$$y = 2000 \log_{e}x +1000$$

$$10 ^Y = 2000 \log_{e} 10 ^X + 1000$$

$$10 ^Y = 2000 X \log_{e} 10 + 1000$$

$$Y = \log_{10} (2000 X \log_{e} 10 + 1000)$$

$$Y \simeq \log_{10} (4605 X + 1000)$$

$$Y \simeq \log_{10} (X + 0.2172) + 0.3663$$

$Y$ と$X$ は対数関数に近い形となり、図10の対数関数を表す緑線は線形-線形グラフ（図7）の対数関数（緑線）と近い下に凸の曲線になっている。

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