• 学問 -top-

A.1.3 $\nabla$ の計算

$\bm{\nabla}$ （ナブラ）はベクトルで次式で表される。

$$\bm{\nabla} = \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial }{\partial ... ...{\partial y} \vspace{.5em} \dfrac{\partial }{\partial z} \end{array} \right)$$

スカラーとの積、例えば温度$T$ との積は次式のようになる。

$$\bm{\nabla} T = \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial }{\partia... ...\partial y} \vspace{.5em} \dfrac{\partial T}{\partial z} \end{array} \right)$$

ベクトルとの積（内積）、例えば速度ベクトル$\bm{v}$ との積は次のようになる。ベクトルの内積なので、積はスカラー量となる。先に速度ベクトル$\bm{v}$ を示す。

$$\bm{v} = \left( \begin{array}{c} u \vspace{.5em} v \vspace{.5em} w \end{array} \right)$$

$$\bm{\nabla} \cdot \bm{v} = \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partia... ...}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z}$$

次にスカラーとベクトルの積との内積、例えばスカラーの密度$\rho$ と速度ベクトル$\bm{v}$ では次のようになる。ベクトルとの内積なので、積はスカラー量となる。

$$\bm{\nabla} \cdot (\rho \bm{v}) = \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial }{\partial x} \vspace{.... ...}{c} \rho u \vspace{.5em} \rho v \vspace{.5em} \rho w \end{array} \right)$$

$$= \dfrac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \dfrac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \dfrac{\partial (\rho w)}{\partial z}$$

$$= \rho \dfrac{\partial u}{\partial x} + u \dfrac{\partial \rho}{\... ... y} + \rho \dfrac{\partial w}{\partial z} + w \dfrac{\partial \rho}{\partial z}$$

$$= \rho \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}... ... x} + v \dfrac{\partial \rho}{\partial y} + w \dfrac{\partial \rho}{\partial z}$$

$$= \rho \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \rho$$

次にスカラー2つとベクトルの積との内積、例えばスカラーの密度$\rho$ とスカラーの温度$T$ と速度ベクトル$\bm{v}$ では次のようになる。ベクトルとの内積なので、積はスカラー量となる。

$$\bm{\nabla} \cdot (\rho T \bm{v}) = \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial }{\partial x} \vspace{.... ...rho T u \vspace{.5em} \rho T v \vspace{.5em} \rho T w \end{array} \right)$$

$$= \dfrac{\partial (\rho T u)}{\partial x} + \dfrac{\partial (\rho T v)}{\partial y} + \dfrac{\partial (\rho T w)}{\partial z}$$

$$= \rho T \dfrac{\partial u}{\partial x} + \rho u \dfrac{\partial ... ...+ \rho w \dfrac{\partial T}{\partial z} + T w \dfrac{\partial \rho}{\partial z}$$

$$= \rho T \bigg( \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial ... ... \dfrac{\partial \rho}{\partial y} + w \dfrac{\partial \rho}{\partial z} \bigg)$$

$$= \rho T \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T + T \bm{v} \cdot \bm{\nabla} \rho$$

• 学問 -top-

この図を含む文章の著作権は著者にあり、クリエイティブ・コモンズ 表示 - 非営利 - 改変禁止 3.0 非移植 ライセンスの下に公開する。