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2.4.5.2 非圧縮性流体（密度$\rho$ [kg/m$^3$ ]は一定）

式(2.89)へ、式(2.91)、式(2.114)、式(2.134)、式(2.154)、式(2.165)、式(2.179)を入れると、

$$\rho \bigg( \bm{v} \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + c_v \frac{\partial T}{\partial t} \bigg) dxdydz = - \frac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} (\bm{v}^2) dxdydz + \... ...m{g} \cdot \bm{v} dxdydz - \rho c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T dxdydz \nonumber$$

$$\hspace{5em} + k \bm{\nabla}^2 T dxdydz + \left\{ - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} P + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla}^2 \bm{v} \right\} dxdydz$$

両辺を$dxdydz$ で割って次式を得る。

$$\rho \bigg( \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + c_v \frac{\partial T}{\partial t} \bigg) = - \frac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} (\bm{v}^2) + \rho \bm{g} \cdot \bm{v} - \rho c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T$$

$$+ k \bm{\nabla}^2 T - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} P + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla}^2 \bm{v}$$ (2.182)

上式から運動量の保存式(2.86)と速度ベクトル$\bm{v}$ [m/s]の内積を引く。式(2.86)と$\bm{v}$ [m/s]の内積は以下のようになる。

$$\rho \bm{v} \cdot \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} = - \rho \bm{v} \cdot \left( \begin{array}{c} \bm{v} \cdot \bm{\n... ...bm{\nabla} P + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla}^2 \bm{v} + \rho \bm{g} \cdot \bm{v}$$

$$= - \frac{1}{2} \rho \bm{v} \cdot \bm{\nabla} (\bm{v}^2) - \bm{v}... ...bm{\nabla} P + \mu \bm{v} \cdot \bm{\nabla}^2 \bm{v} + \rho \bm{g} \cdot \bm{v}$$

式(2.183)から上式を引くと次式となる。上式の変形の詳細はA.2(p. )に示す。

$$\rho c_v \frac{\partial T}{\partial t} = - \rho c_v \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T + k \bm{\nabla}^2 T$$ (2.183)

上式を$\rho$ [kg/m$^3$ ] $c_v$ [J/(kg $\cdot$ K)]で割り、熱拡散率（温度伝導率）$a$ [m$^2$ /s] $=\dfrac{k}{\rho c_v}$ に置き換え次式を得る。

$$\frac{\partial T}{\partial t} = - \bm{v} \cdot \bm{\nabla} T + a \bm{\nabla}^2 T$$ (2.184)

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